Vollständige Induktion: Beispiele – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (2024)

Table of Contents
Schema zum Beweis mit vollständiger Induktion Lösungsweg: Beweis auf Schmierblatt finden Beweis aufschreiben Beweis einer Summenformel Beweisfindung auf dem Schmierblatt Beweis aufschreiben Beweise von Ungleichungen Ungleichung mit Summenformel Ungleichung ohne Summenformel Beweis von Teilbarkeit Aufgabe Lösungsweg Beweis References
  • ↳ Projekt „Mathe für Nicht-Freaks“
  • ↳ Grundlagen der Mathematik

    Inhalte „Grundlagen der Mathematik“

    • Was ist Mathematik?Vollständige Induktion: Beispiele – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (2)
    • Einführung in die LogikVollständige Induktion: Beispiele – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (3)
    • Beweise und BeweismethodenVollständige Induktion: Beispiele – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (4)
    • Vollständige InduktionVollständige Induktion: Beispiele – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (5)
    • MengenlehreVollständige Induktion: Beispiele – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (8)
    • RelationenVollständige Induktion: Beispiele – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (9)
    • AbbildungenVollständige Induktion: Beispiele – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (10)
    • Mächtigkeit von MengenVollständige Induktion: Beispiele – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (11)
    • GleichungsumformungenVollständige Induktion: Beispiele – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (12)
    • Summe, Produkt und FakultätVollständige Induktion: Beispiele – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (13)
    • BinomialkoeffizientVollständige Induktion: Beispiele – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (14)
    • Anhang

Schema zum Beweis mit vollständiger Induktion

Die folgende Übersicht hilft dir, einen Beweis mit Hilfe vollständiger Induktion zu führen, wie sie im Abschnitt „Prinzip der vollständigen Induktion“ definiert wurde. Zwar kannst du viele Induktionsbeweise nach diesem Schema lösen, aber es gibt auch Ausnahmen!

Lösungsweg: Beweis auf Schmierblatt finden

Kein Beweis fällt vom Himmel– so auch kein Induktionsbeweis. Bevor du den gesuchten Beweis aufschreiben kannst, musst du ihn erst einmal finden (klingt logisch, oder?  ). Das folgende Schema soll dir dabei helfen. Die einzelnen Fragen beziehungsweise Schritte kannst du auf Schmierpapier oder im Kopf durchführen. In den nächsten Abschnitten wird dieses Schema an typischen Induktionsaufgaben erklärt und exemplarisch angewandt.

Vorüberlegungen
Fragen/SchrittAnmerkungen
Über welche Variable wird die Induktion geführt?Oftmals ist diese Variable Vollständige Induktion: Beispiele – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (16) (hat sich so etabliert). Dies muss aber nicht sein und ist aufgabenabhängig.
Wie lautet die Aussageform, deren Allgemeingültigkeit zu beweisen ist?Mach dir klar, wie die Aussageform aussieht, deren Allgemeingültigkeit du beweisen möchtest/musst.
Induktionsanfang
Fragen/SchrittAnmerkungen
Welchen Wert hast du für die Induktionsvariable im Induktionsanfang? Welches ist die kleinste natürliche Zahl für den Induktionsanfang?Meistens geht aus der Aufgabenstellung hervor, wie der Induktionsanfang lautet. Manchmal ist dies aber nicht der Fall und du musst den Induktionsanfang selbst herausfinden, etwa durch Probieren.
Wie lautet die zu beweisende Aussage für den InduktionsanfangSetze in die Aussageform die oben gefundene Zahl für den Induktionsanfang ein.
Finde einen Beweis für den InduktionsanfangHier musst du den Beweis für die oben gefundene Aussage finden. Bei Gleichungen bzw. Ungleichungen gelingt dir dies zum Beispiel dadurch, dass du beide Seiten dieser Gleichung oder Ungleichung ausrechnest und die dadurch entstanden Werte vergleichst.
Induktionsschluss
Fragen/SchrittAnmerkungen
Wie lautet die Induktionsvoraussetzung?—
Wie lautet die Induktionsbehauptung?Achte darauf, dass du die Induktionsbehauptung richtig formulierst, dass du also Klammern um Vollständige Induktion: Beispiele – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (17) setzt. Wenn du zum Beispiel die zu bearbeitende Aussageform Vollständige Induktion: Beispiele – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (18) lautet „Vollständige Induktion: Beispiele – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (19) ist ungerade“ lautet die Induktionsbehauptung Vollständige Induktion: Beispiele – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (20) nicht „Vollständige Induktion: Beispiele – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (21) ist ungerade“, sondern „Vollständige Induktion: Beispiele – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (22) ist ungerade“.
Finde den Beweis für den InduktionsschrittFinde den Beweis dafür, dass unter Annahme der Induktionsvoraussetzung die Induktionsbehauptung gilt. Hier ist Kreativität gefragt, denn es gibt kein Beweisschema F. Aber meistens kannst du Aufgaben des gleichen oder ähnlichen Typs auf ähnliche Weise lösen (natürlich nicht immer). Das heißt, wenn du schon einige Induktionsbeweise gesehen oder durchgeführt hast, wird es dir leichter fallen, ähnliche Aufgaben zur vollständigen Induktion zu lösen. Es heißt mal wieder: Übung macht den Meister!

Beweis aufschreiben

Nachdem du dir den Beweis im Kopf oder auf Schmierpapier überlegt hast, geht es nun darum, einen sauberen und formal richtigen Beweis aufzuschreiben. Das folgende Schema gibt dir eine mögliche Struktur vor, wie du dies machen kannst:

Aussageform, deren Allgemeingültigkeit für Vollständige Induktion: Beispiele – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (23) bewiesen werden soll:

<Aussageform aufschreiben, welche bewiesen werden soll>

1. Induktionsanfang:

<gefundenen Beweis für den Induktionsanfang aufschreiben>

2. Induktionsschritt:

2a. Induktionsvoraussetzung:

<Induktionsvoraussetzung formulieren>

2b. Induktionsbehauptung:

<Induktionsbehauptung formulieren>

2c. Beweis des Induktionsschritts:

<gefundenen Beweis für den Induktionsschritt aufschreiben>

Bedenke, dass das obige Beweisschema nur eine Möglichkeit ist, einen Beweis für vollständige Induktion aufzuschreiben, an dem du dich aber gut orientieren kannst. Sollten dir mal in einer Klausur, Test oder ähnlichem ein paar Punkte der vollständigen Induktion fehlen, schreibe die restlichen trotzdem auf. Oft werden sie auch schon bewertet.

Beweis einer Summenformel

Als erste Beispielaufgabe wähle ich den Beweis einer Summenformel, da dies ein typisches Anwendungsgebiet der vollständigen Induktion ist. Aber auch Produktgleichungen kannst du auf eine ähnliche Art lösen. Unsere Beispielaufgabe lautet:

„Beweise durch vollständige Induktion, dass Vollständige Induktion: Beispiele – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (24) für alle natürlichen Zahlen Vollständige Induktion: Beispiele – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (25) ist.“

Beweisfindung auf dem Schmierblatt

Notwendige Vorüberlegungen

Frage: Über welche Variable wird die Induktion geführt?

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Frage: Wie lautet die zu beweisende Aussageform?

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Der Doppelpunkt steht dabei für „ist definiert durch“.

Induktionsanfang

Frage: Was ist die kleinste sinnvoll einsetzbare natürliche Zahl für Vollständige Induktion: Beispiele – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (28)?

Nach der Aufgabenstellung ist Vollständige Induktion: Beispiele – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (29), also Vollständige Induktion: Beispiele – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (30). Die kleinste, sinnvoll einsetzbare natürliche Zahl ist damit die Vollständige Induktion: Beispiele – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (31) , womit die Induktion startet.

Frage: Wie lautet die zu beweisende Aussage für den Induktionsanfang?

Nach dem Einsetzen der Vollständige Induktion: Beispiele – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (32) für Vollständige Induktion: Beispiele – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (33) in der Aussageform erhalten wir die Aussage:

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Aufgabe: Finde einen Beweis für den Induktionsanfang.

Bei Summenformeln musst du die im Induktionsanfang entstandene Gleichung verifizieren. Dies erreichst du durch Nachrechnen der beiden Seiten der Gleichung, welche identisch sein müssen. Bei unserer Aufgabe erhalten wir für den linken Term der Gleichung:

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Für den rechten Term der Gleichung erhalten wir:

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Damit stimmen beide Seiten der obigen Gleichung überein, so dass Vollständige Induktion: Beispiele – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (37) wahr ist.

Induktionsschritt

Frage: Wie lautet die Induktionsvoraussetzung?

Die Induktionsvoraussetzung Vollständige Induktion: Beispiele – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (38) lautet Vollständige Induktion: Beispiele – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (39). Wir benutzen hier den Variablennamen Vollständige Induktion: Beispiele – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (40), weil der Name Vollständige Induktion: Beispiele – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (41) bereits als Laufindex in der Summe vorkommt.

See Also
Summe der natürlichen Zahlen von 1 bis n und der Quadratzahlen bis n²Sum of Natural Numbers Formula - Derivation, ExamplesProof that T(n)=n(n+1)/2Vollständige Induktion - Mathelust

Frage: Wie lautet die Induktionsbehauptung?

Die Induktionsbehauptung Vollständige Induktion: Beispiele – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (42) lautet Vollständige Induktion: Beispiele – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (43).

Aufgabe: Finde den Beweis für den Induktionsschritt.

Wir müssen nun beweisen, dass unter Annahme der Induktionsvoraussetzung die Induktionsbehauptung gilt. Bei Summenformeln können meistens folgende Schritte identifiziert werden:

1.Zerlege die Summe der Induktionsbehauptung so, dass du die Induktionsvoraussetzung anwenden kannst.

Dazu musst du von der Summe so viele Summanden extra schreiben (oder in einer eigenen Summe zusammenfassen), dass die restliche Summe der Summe in der Induktionsvoraussetzung entspricht:

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2.Induktionsvoraussetzung anwenden.

Nun kann die Induktionsvoraussetzung verwendet werden:

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Somit müssen wir jetzt folgende Gleichheit beweisen:

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3.Termumformungen finden, um eine Seite der Gleichung in die andere zu überführen.

Wie du auf die notwendigen Termumformungen kommst wird im Abschnitt „Terme– Notwendige Termumformungen finden“ beschrieben. Du kannst die obige Gleichung durch Termumformumgen zum Beispiel so beweisen:

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Beweis aufschreiben

Nun kann der Beweis nach dem obigen Schema aufgeschrieben werden.

Aussageform, deren Allgemeingültigkeit für Vollständige Induktion: Beispiele – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (48) bewiesen werden soll:

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1. Induktionsanfang:

Für Vollständige Induktion: Beispiele – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (50) gilt:

Vollständige Induktion: Beispiele – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (51)

Damit ist Vollständige Induktion: Beispiele – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (52) wahr.

2. Induktionsschritt:

2a. Induktionsvoraussetzung:

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2b. Induktionsbehauptung:

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2c. Beweis des Induktionsschritts:

Es gilt:

Vollständige Induktion: Beispiele – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (55)

Damit ist die Induktionsbehauptung bewiesen.

Beweise von Ungleichungen

Ungleichung mit Summenformel

Aufgabe

Beweise, dass für alle Vollständige Induktion: Beispiele – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (56) die Ungleichung Vollständige Induktion: Beispiele – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (57) gilt.

Lösungsweg

Ungleichungen zu beweisen, ist ein weiteres Problem, bei der die vollständige Induktion oftmals eingesetzt wird. Hier sind die notwendigen Termumformungen meist raffinierter als beim Beweis von Summenformeln und man muss geschickte Abschätzungen für Terme finden.

Diese Beispielaufgabe beschreibt eine wichtige Abschätzung der harmonischen Reihe, die noch später im Buch relevant wird (die Folge Vollständige Induktion: Beispiele – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (58) nennt man harmonische Folge, die Summe über diese Folge wird dementsprechend harmonische Reihe genannt). Die Aussageform, deren Allgemeingültigkeit zu beweisen ist, lautet:

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Frage: Wie lautet der Induktionsanfang?

Fangen wir wie immer mit dem Induktionsanfang an. Wie oben ist die kleinste sinnvoll einsetzbare Zahl für Vollständige Induktion: Beispiele – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (60) die Vollständige Induktion: Beispiele – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (61). Die Aussage für Vollständige Induktion: Beispiele – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (62), die wir beweisen müssen, lautet:

Vollständige Induktion: Beispiele – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (63)

Nun Rechnen wir die linke Seite der Ungleichung aus und erhalten:

Vollständige Induktion: Beispiele – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (64)

Da Vollständige Induktion: Beispiele – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (65) ist, ist damit die Ungleichung für Vollständige Induktion: Beispiele – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (66) und somit der Induktionsanfang bewiesen.

Nun geht es mit dem Induktionsschritt weiter. Nach Induktionsvoraussetzung nehmen wir an, dass Vollständige Induktion: Beispiele – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (67) für ein bestimmtes Vollständige Induktion: Beispiele – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (68) gültig ist. Unsere Aufgabe ist es, zu beweisen, dass unter dieser Annahme Vollständige Induktion: Beispiele – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (69) auch gültig sein muss (beachte, dass wir für die Induktionsbehauptung überall Vollständige Induktion: Beispiele – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (70) durch Vollständige Induktion: Beispiele – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (71) ersetzt haben). Da wir in der vollständigen Induktion irgendwie die Induktionsvoraussetzung verwenden müssen, sollten wir die Summe so zerlegen, dass die Summe der Induktionsvoraussetzung auftritt (mal schauen, ob uns das gelingt und weiterhilft). Es ist Vollständige Induktion: Beispiele – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (72).

Die rechte Seite der Ungleichung lässt sich auch als Summe schreiben (dadurch können wir beide Seiten besser miteinander vergleichen). Es ist Vollständige Induktion: Beispiele – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (73) und somit lautet unsere zu beweisende Ungleichung:

Vollständige Induktion: Beispiele – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (74)

Wir wissen nach der Induktionsvoraussetzung bereits, dass Vollständige Induktion: Beispiele – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (75) ist. Wenn wir nun beweisen könnten, dass Vollständige Induktion: Beispiele – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (76) wäre, wäre unsere Induktionsbehauptung bewiesen. Hier brauchen wir eine geschickte Abschätzung der Summe. Wir wissen, dass die Summanden Vollständige Induktion: Beispiele – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (77) mit wachsendem Vollständige Induktion: Beispiele – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (78) immer kleiner werden. Da wir die Summe nach unten abschätzen müssen, könnten wir alle Summanden mit dem kleinsten in der Summe vorkommenden Summanden abschätzen. Dies gibt uns die Möglichkeit, die Summe zu vereinfachen und daraus vielleicht eine Abschätzung zu bekommen. Der kleinste Summand wäre Vollständige Induktion: Beispiele – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (79). Da sich mit Vollständige Induktion: Beispiele – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (80) die Summe wahrscheinlich besser zusammenfassen lässt und Vollständige Induktion: Beispiele – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (81) ist, versuchen wir mal die Abschätzung mit Vollständige Induktion: Beispiele – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (82). Wir erhalten:

Vollständige Induktion: Beispiele – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (83)

Frage: Wie viele Summanden hat nun die Summe Vollständige Induktion: Beispiele – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (84)?

Die Summe hat Vollständige Induktion: Beispiele – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (85) Summanden.

Damit ergibt sich die Ungleichung:

Vollständige Induktion: Beispiele – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (86)

Somit haben wir den Beweis für die Induktionsbehauptung gefunden.

Beweis

Die Aussageform, deren Allgemeingültigkeit zu beweisen ist, lautet:

Vollständige Induktion: Beispiele – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (87)

1.Induktionsanfang:

Für Vollständige Induktion: Beispiele – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (88) ist

Vollständige Induktion: Beispiele – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (89)

2a.Induktionsvoraussetzung:

Sei Vollständige Induktion: Beispiele – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (90) .

2b.Induktionsbehauptung:

Wenn Vollständige Induktion: Beispiele – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (91) ist, dann ist Vollständige Induktion: Beispiele – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (92).

2c.Beweis der Induktionsbehauptung:

Zunächst gilt für alle Vollständige Induktion: Beispiele – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (93):

Vollständige Induktion: Beispiele – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (94)

Damit ist wegen der Induktionsvoraussetzung:

Vollständige Induktion: Beispiele – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (95)

Ungleichung ohne Summenformel

Aufgabe

Bestimmen Sie alle Vollständige Induktion: Beispiele – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (96) für die gilt:

Vollständige Induktion: Beispiele – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (97)

Lösungsweg

Vorüberlegung: Wie kommen wir an unsere Vollständige Induktion: Beispiele – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (98), welche die Ungleichung erfüllen?

Zunächst können wir für die ersten natürlichen Zahlen Vollständige Induktion: Beispiele – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (99) überprüfen, ob sie die Bedingung erfüllen:

Vollständige Induktion: Beispiele – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (100)

Die Aussage ist für Vollständige Induktion: Beispiele – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (101) und Vollständige Induktion: Beispiele – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (102) wahr. Wir vermuten deswegen, dass die Ungleichung für alle Vollständige Induktion: Beispiele – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (103) erfüllt ist.

Beweis

Die Ungleichung Vollständige Induktion: Beispiele – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (104) ist für alle Vollständige Induktion: Beispiele – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (105) erfüllt.

Aussageform, deren Allgemeingültigkeit für Vollständige Induktion: Beispiele – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (106) mit Vollständige Induktion: Beispiele – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (107) bewiesen werden soll:

Vollständige Induktion: Beispiele – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (108)

1. Induktionsanfang:

Vollständige Induktion: Beispiele – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (109)

2. Induktionsschritt:

2a. Induktionsvoraussetzung:

Vollständige Induktion: Beispiele – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (110)

2b. Induktionsbehauptung:

Vollständige Induktion: Beispiele – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (111)

2c. Beweis des Induktionsschritts:

Vollständige Induktion: Beispiele – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (112)

Aus der Induktionsvoraussetzung wissen wir bereits, dass Vollständige Induktion: Beispiele – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (113) gilt. Beweisen wir nun deswegen die fehlende Ungleichung:

Vollständige Induktion: Beispiele – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (114)

Die untere Ungleichung kann direkt miteinander verglichen werden und ist insbesondere für alle Vollständige Induktion: Beispiele – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (115) wahr.

Beweis von Teilbarkeit

Aufgabe

Beweise, dass alle Zahlen der Form Vollständige Induktion: Beispiele – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (116) mit Vollständige Induktion: Beispiele – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (117) durch 6 teilbar sind.

Lösungsweg

Als letztes Beispiel betrachten wir eine Aufgabe zur Teilbarkeit.

Frage: Über welche Variable ist die Induktion zu führen?

Die Induktionsvariable ist Vollständige Induktion: Beispiele – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (118).

Frage: Wie lautet die Aussageform, deren Allgemeingültigkeit zu beweisen ist?

Vollständige Induktion: Beispiele – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (119)

Im Induktionsanfang musst du wie bei den obigen Beispielen die kleinste sinnvoll einsetzbare Zahl einsetzen und die so ausgerechnete Zahl auf die gewünschte Teilbarkeit überprüfen (beachte dabei, dass jede ganze Zahl ein Teiler von Vollständige Induktion: Beispiele – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (120) ist).

Frage: Wie lautet der Induktionsanfang?

Der Induktionsanfang ist laut Aufgabenstellung für Vollständige Induktion: Beispiele – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (121) zu führen. Wir erhalten Vollständige Induktion: Beispiele – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (122), was durch sechs teilbar ist.

Frage: Wie lautet die Induktionsvoraussetzung?

Die Zahl Vollständige Induktion: Beispiele – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (123) ist durch 6 teilbar.

Frage: Wie lautet die Induktionsbehauptung?

Die Zahl Vollständige Induktion: Beispiele – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (124) ist durch 6 teilbar.

Im Beweis des Induktionsschritts hilft es meist, den erhaltenen Term, den du auf Teilbarkeit überprüfen sollst, durch Termumformungen auf eine Summe zu bringen, bei der du weißt, dass jeder seiner Summanden durch die gewünschte Zahl teilbar ist. Versuche dabei die Summe in so eine Struktur zu bringen, dass du die Induktionsvoraussetzung verwenden kannst.

Frage: Wie lautet der Beweis für den Induktionsschritt?

Wir erhalten nach obiger Vorgehensweise:

Vollständige Induktion: Beispiele – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (125)

Nach Induktionsvoraussetzung wissen wir, dass Vollständige Induktion: Beispiele – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (126) durch 6 teilbar ist. Der Summand Vollständige Induktion: Beispiele – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (127) ist auch durch sechs teilbar. Und wie sieht es mit Vollständige Induktion: Beispiele – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (128) aus? Da entweder Vollständige Induktion: Beispiele – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (129) oder Vollständige Induktion: Beispiele – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (130) gerade ist, ist entweder Vollständige Induktion: Beispiele – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (131) oder Vollständige Induktion: Beispiele – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (132) durch zwei teilbar. Damit muss auch Vollständige Induktion: Beispiele – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (133) durch 6 teilbar sein.

Beweis

Aufgabe: Schreibe den Beweis auf.

Die Aussageform, deren Allgemeingültigkeit zu beweisen ist, lautet:

Vollständige Induktion: Beispiele – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (134)

1.Induktionsanfang:

Für Vollständige Induktion: Beispiele – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (135) ist Vollständige Induktion: Beispiele – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (136) durch 6 teilbar.

2a.Induktionsvoraussetzung:

Es ist Vollständige Induktion: Beispiele – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (137) durch 6 teilbar.

2b.Induktionsbehauptung:

Vollständige Induktion: Beispiele – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (138) ist durch 6 teilbar.

2c.Beweis der Induktionsbehauptung:

Es ist Vollständige Induktion: Beispiele – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (139). Normalerweise würdest du jetzt Potenzen von m zusammenfassen zu Vollständige Induktion: Beispiele – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (140). Das ist zwar richtig, aber nicht zielführend. Vielmehr musst du den Term Vollständige Induktion: Beispiele – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (141) der Induktionsvoraussetzung ins Spiel bringen, hier durch Umordnen, so dass sich Vollständige Induktion: Beispiele – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (142) ergibt. Am Term Vollständige Induktion: Beispiele – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (143) kannst du nicht sofort ablesen, dass er für alle Vollständige Induktion: Beispiele – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (144) durch 6 teilbar ist. Ein weiterer Induktionsbeweis lässt sich jedoch vermeiden, denn wenn du ausklammerst Vollständige Induktion: Beispiele – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (145), ist die Teilbarkeit sofort zu erkennen, weil m oder m+1 durch 2 teilbar ist. Damit sind alle 3 Summanden von Vollständige Induktion: Beispiele – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (146) durch 6 teilbar und der Induktionsbeweis in allen Einzelheiten nachvollziehbar geführt.

Mengenlehre →

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Author: Tuan Roob DDS

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